Teoremas de Poincaré-Hopf, Gauss-Bonnet e Dehn-Sommerville em complexos simpliciais energizados

Abstract

A geometria dos complexos simpliciais era muito pouco estudada antes do início da última década, porém, desde então, parece ter havido uma explosão dos trabalhos nesta área, com isso novas estruturas acabam surgindo com o desenvolvimento e as descobertas dentro do arcabouço desta geometria. Neste trabalho desenvolvemos a teoria dos complexos simpliciais energizados, uma estrutura derivada dos complexos simpliciais abstratos e que se comporta como uma generalização dos estudos topológicos dos mesmos. São apresentados além de uma introdução a nova estrutura, o estudo dos primeiros operadores energizados, o desenvolvimento das versões dos teoremas de Gauss-Bonnet e Poincaré-Hopf energizados, as relações de Denh-Sommerville energizadas e uma versão discreta do teorema de RiemanRoch. A tese ainda apresenta uma seleção de estratégias para desenvolver novos resultados dentro da estrutura dos complexos simpliciais energizados. Estes novos resultados para os quais são traçadas as estratégias podem ser categorizados em três frentes: O preenchimento da teoria, a expansão dos resultados para conjuntos de conjuntos e as aplicações na ciências de dados, biologia e medicina.