Propriedade de controle ótimo tipo Bang-Bang para Equação de Korteweg-de Vries-Burgers

Abstract

Este trabalho é dedicado a obter a propriedade de controle ótimo do tipo Bang-Bang para a equação não linear de Korteweg-de Vries-Burgers (KdV-B) em um domínio limitado cujo controle atua internamente em um subconjunto deste domínio. Inicialmente, utilizamos a teoria de semigrupos para garantir a boa colocação do problema de valor inicial associado à equação KdV-B, tanto para o caso linearizado quanto para o caso não linear. Em seguida, estudamos a controlabilidade nula da equação KdV-B, que dividiremos em dois casos. Para o caso linear, aplicamos o método da dualidade que consiste em provar uma desigualdade de observabilidade, esta obtida com o auxílio de uma desigualdade de Carleman. Com resultado linear em mãos, o caso não linear é estendido utilizando o teorema do ponto fixo de Kakutani. Adicionalmente, provamos a existência de controle ótimo associado à controlabilidade nula para a equação KdV-B e que qualquer controle ótimo satisfaz a propriedade Bang-Bang.