Existência e comportamento assintótico de soluções no modelo de Keller-Segel fracionário

Abstract

Neste trabalho, fazendo uso de ferramentas da Análise Funcional e Topologia, estudamos o modelo fracionário de Keller-Segel para quimiotaxia de ordem 𝛼 ∈ (0, 1) que consiste em um sistema acoplado de Equações Diferenciais Parciais em R𝑛, com 𝑛 ≥ 2. Considerando dados iniciais suficientemente pequenos e fazendo-se estimativas estruturais dos operadores de Mittag-Leffler via estimativas do semigrupo do calor, mostramos a existência e unicidade de soluções brandas, no sentido de Hadamard, construídas pelo princípio de Duhamel em espaços de Morrey e Besov-Morrey homogêneos para a classe de Fujita-Kato fazendo uso de um argumento topológico de ponto fixo de Banach. Com a hipótese, 𝛾 = 0, apresentamos soluções para o modelo que são invariantes por escala, ou seja, são auto-similares. E por fim, analisamos o comportamento assintótico das soluções, obtendo um resultado de estabilidade no tempo e como decorrência disso temos que cada solução auto-similar é um atrator global. A base da presente dissertação é o artigo de: Azevedo, J. et al., “Existence and asymptotic behaviour for the time-fractional Keller-Segel model for chemotaxis".