Generalização de transformadas do cosseno baseada em rotações : contribuições teóricas e cenários de aplicação

Abstract

Transformadas como a de Fourier desempenham um papel fundamental no processamento de sinais. No entanto, quando os sinais são definidos sobre estruturas irregulares, as quais podem ser modeladas por meio de um grafo arbitrário, seu processamento pode ser feito empregando ferramentas próprias voltadas para a sua interpretação e análise. Nesse contexto, um tópico emergente é o do processamento de sinais sobre grafos (GSP, do inglês graph signal processing), que estende a teoria clássica de processamento de sinais para o domínio dos grafos. Também em GSP uma transformada de Fourier foi definida, a transformada de Fourier sobre grafos (GFT, do inglês graph Fourier transform), que resulta da autodecomposição do operador Laplaciano do grafo. Uma característica peculiar em GSP é que a GFT para grafos com topologias específicas coincide com transformadas discretas para sinais sobre domínios usuais. Esta característica é explorada nesta Tese com o propósito de definir novas transformadas discretas baseadas em rotações, as quais são denominadas transformadas manobráveis. Mais especificamente, o que se faz é rotacionar os vetores de base da transformada discreta que coincide com a GFT de um grafo específico. É definida a transformada discreta manobrável do cosseno para o espaço tridimensional (3D-SDCT, do inglês three-dimensional steerable discrete cosine transform). Um método de compressão de imagens tridimensionais baseado na 3D-SDCT é apresentado; os resultados obtidos superam aqueles conseguidos empregando a 3D-DCT (utilizando a mesma estratégia de quantização e codificação). Esta Tese também apresenta o estudo da multiplicidade dos autovalores do Laplaciano do produto de quatro grafos em caminho. Essa análise é o ponto chave para a definição de uma versão 4D da SDCT. Sobre corpos finitos, são apresentadas versões da SDCT e da 3D-SDCT, identificadas, respectivamente, pelos acrônimos SCNT (do inglês steerable cosine number transform) e 3D-SCNT, e que são definidas, respectivamente, a partir de rotações dos vetores de base da 2D-CNT e da 3D-CNT, usando um operador de rotação sobre corpos finitos. É apresentado um esquema de cifragem de imagens médicas tridimensionais baseado na 3D-SCNT, que usa os ângulos de rotação como parâmetros secretos. O referido esquema mostra-se robusto contra os principais ataques criptográficos e sensível a mudanças na chave secreta.