Finitude de equilíbrios relativos no problema restrito planar de quatro corpos

Abstract

O problema de determinar se é finito o número de equilíbrios relativos de N massas que se atraem segundo a lei da gravitação universal é um problema clássico da Mecânica Celeste, e está em aberto no caso geral. Nesse trabalho é apresentado uma solução para o caso de quatro corpos no plano, sendo um deles com massa nula. Esse problema é conhecido como o problema restrito de quatro corpos no plano, ou ainda por PR4CP. O PR4CP já foi consideravelmente estudado por alguns pesquisadares da área. O principal resultado foi obtido numericamente por Pedersen, (PEDERSEN, 1944), e analiticamente por Barros e Leandro em (BARROS; LEANDRO, 2014), o qual afirma que existem 8, 9 ou 10 equilíbrios relativos no PR4CP. No entanto, em (KULEVICH; ROBERTS; SMITH, 2009), há um diferencial que é a técnica utilizada. Kulevich, Roberts e Smith, por meio da teoria BKK, fornece um critério suficiente de finitude e estimativa para o número de soluções de sistemas de equações polinomias. A sigla BKK se refere aos nomes Bernstein, Khovansky e Kushnirenko. Um dos primordiais resultados dessa teoria é o teorema de Bernstein, o qual fornece uma cota superior para o número de soluções no toro algébrico de um sistema polinomial com n equações em n variáveis. A imprescindível hipótese desse teorema é a finitude de soluções do sistema. A teoria BKK fornece um método para determinar se um dado sistema de equações polinomiais possui um número finito de soluções com todas as variáveis diferentes de zero. As principais ferramentas que essa teoria utiliza estão desenvolvidas nesse trabalho. O objetivo desse trabalho é mostrar como esse problema foi resolvido utilizando a teoria BKK, provando a finitude dos equilíbrios relativos do problema e a existência de no máximo 196 equilíbrios relativos.