Soluções exatas dependentes do tempo para dedos viscosos em uma célula de Hele-shaw

Abstract

Na presente dissertação apresentamos soluções dependentes do tempo para o movimento de múltiplos dedos viscosos em uma célula de Hele-Shaw com tensão superficial nula. As soluções são representadas em termos de um mapeamento conforme de um domínio apropriado em um plano complexo auxiliar para a região ocupada pelo fluido no plano z. Começamos com uma detalhada revisão das soluções estacionárias para o movimento de múltiplas bolhas e dedos viscosos na célula de Hele-Shaw retangular. Nesta revisão, introduzimos o formalismo das funções secundárias de Schottky-Klein utilizado na construção de mapeamentos conformes entre domínios multiplamente conexos. Verificamos que estas soluções quando tomadas no caso de uma única bolha e um único dedo reproduzem exatamente as soluções originalmente encontradas por Saffman e Taylor. Para a construção de soluções dependentes do tempo, que representam a principal contribuição desta dissertação, introduzimos inicialmente o conceito da função de Schwarz de uma curva. Usando o fato de que as singularidades da função de Schwarz são grandezas conservadas, derivamos um sistema de equações diferenciais ordinárias para a evolução temporal dos parâmetros do mapeamento. Integrando numericamente o sistema de EDO’s para diferentes configurações iniciais, obtivemos a dependência temporal dos parâmetros do mapeamento conforme, o que nos possibilitou acompanhar o comportamento da interface ao longo do tempo. Observamos o acontecimento de tip-splitting, fenômeno no qual um dedo viscoso inicial se divide em dois ramos que assintoticamente convergem para dois dedos distintos. Explicamos através do nosso modelo o fenômeno da seleção da velocidade assintótica, mostrando que a solução estacionária com velocidade U = 2 é o único atrator da dinâmica. Este comportamento concorda com diversos experimentos e reafirma que a seleção da velocidade em escoamentos de Hele-Shaw é um fenômeno inerente à dinâmica com tensão superficial nula.