Equações do tipo Calabi-Simons para subvariedades tipo-espaço em produtos indefinidos e aplicações

Abstract

Esta tese tem como objetivo investigar subvariedades espaciais imersas em produtos de variedades semi-Riemannianas. Para isso, desenvolvemos inicialmente uma fórmula

do tipo Calabi-Simons, adaptada ao contexto de subvariedades espaciais em espaços pro- duto semi-Riemannianos indefinidos, compostos por uma variedade de curvatura seccional

constante multiplicada pela reta real (no caso riemanniano ou lorentziano). A partir dessa formulação geral, derivamos versões especializadas aplicáveis a subvariedades em classes particulares de espaços ambiente. Como primeira aplicação, estudamos subvariedades estacionárias, ou seja, aquelas com curvatura média nula. Ao analisar propriedades como

o índice e a codimensão da imersão, demonstramos que tais subvariedades são necessari- amente totalmente geodésicas em slices do espaço produto. Na sequência, consideramos

subvariedades com vetor curvatura média paralelo. Por meio de desigualdades integrais do tipo Simons, mostramos que essas subvariedades devem ser totalmente umbílicas nas

respectivos slice. No caso específico de hipersuperfícies imersas em produtos entre va- riedades de curvatura constante e um fator euclidiano, analisamos aquelas com curvatura

média nula sob a suposição de completude estocástica. Demonstramos que tais hipersu- perfícies estão contidas em slices horizontais ou em cilindros verticais, conforme o sinal

da curvatura do fator base. Sob a hipótese adicional de completude métrica, obtemos uma classificação precisa das configurações geométricas possíveis. Por fim, abordamos o caso das hipersuperfícies chamadas 2-mínimas. De maneira análoga ao caso anterior, estabelecemos uma caracterização completa de slices.