K-teoria e operadores de Fredholm

Abstract

Essa dissertação começa por introduzir resultados básicos sobre a teoria de fibrados ve- toriais para em seguida definir os anéis de K-teoria, definidos a partir de diferenças formais

de fibrados vetoriais. Destacamos as propriedades cohomológicas dessa teoria assim como a operação de produto externo. A partir dessa operação entendemos o principal teorema da

K-teoria, o teorema da periodicidade de Bott, que torna a teoria cohomológica em uma coho- mologia cíclica. Fazemos também uma revisão sobre operadores de Fredholm em espaços de

Hilbert, assim como o índice destes operadores e definimos os operadores de Wienner-Hopf. Em seguida definimos os fibrados de Hilbert e usamos o teorema de Kupier para mostrar que esses fibrados são triviais e então construimos o index bundle que generaliza a definição dos operadores de Fredholm para fibrados de Hilbert, associando um elemento do anel de K-teoria para cada operador de Fredholm nos fibrados de Hilbert. Usamos então essa construção para criar uma inversa do mapa de Bott e assim provar o teorema da periodicidade de Bott.