Existência e não existência de soluções locais para problemas parabólicos não lineares com dados singulares

Abstract

Nesta tese apresentamos resultados de existência local de soluções para problemas pa- rabólicos não lineares com dados inicias singulares. Primeiramente, no Capítulo 3 fornecemos novas condições para a existência local de soluções para um problema parabólico não linear com dados iniciais no espaço de Lebesgue. Como consequência de nossos resultados, consi- derando um comportamento adequado dos dados iniciais não negativos obtemos um segundo valor critico que determina a existência (ou não) de uma solução local. Para alcançar esses resultados, empregamos um método de comparação, mostrando a existência de uma super e uma subsolução. No Capítulo 4, estudamos condições de existência, não existência e unicidade de soluções locais para um problema parabólico com expoente variável considerando dados iniciais no espaço de Lebesgue, usando um método iterativo monótono, estimativas de efeitos regularizantes nos espaços de Lebesgue e desigualdade de Jensen para expoente variável. No Capítulo 5, estamos interessados na existência de soluções locais não negativa considerando o espaço de Lebesgue uniformemente local para o problema parabólico não linear com poten- cial singular. Em particular, obtemos condições necessárias e suficientes para a existência de soluções, melhorando os resultados obtidos no contexto dos espaços Lebesgue. As principais ferramentas técnicas para provar esses resultados são um método iterativo monótono, estima- tivas de efeitos regularizantes nos espaços de Lebesgue uniformemente locais e desigualdade de Jensen.