A fisica e angulo polar: uma proposta de material didático para facilitar o processo de ensino-aprendizagem sobre os Polinômios de Legendre.

Abstract

O presente trabalho surgiu a partir da percepção de que, embora os Polinômios de Legendre sejam de suma importância na física, os principais livros didáticos utilizados no curso de Licenciatura em Física da Universidade Federal de Pernambuco no Campus Acadêmico do Agreste não trazem uma dedução completa destes polinômios a partir da Equação de Legendre. Tal problemática pode ter diversas origens, desde a ementa da disciplina de Equações Diferenciais do curso que não traz o Método de Frobenius até o fato de que o curso não possui uma disciplina de Física Matemática obrigatória, na qual se estudem às Funções Especiais. Independentemente da origem do problema, uma consequência direta dele é que inúmeros estudantes chegam ao final do curso sem ter nenhum conhecimento dessas funções e de suas origens. Quando estes estudantes se deparam com a necessidade de resolver a Equação de Schröndinger em Coordenadas Polares Esféricas na disciplina de Física Moderna I, que é obrigatória, o aprendizado tende a se tornar tortuoso, tendo em vista que estes estudantes precisarão estudar os conteúdos associados as funções especiais ao mesmo tempo em que precisarão se familiarizar com os conceitos basilares da Teoria Quântica. Algo semelhante ocorre na disciplina de Eletromagnetismo Clássico I, que é eletiva, nela os estudantes precisam aplicar os Polinômios de Legendre ao mesmo tempo em que precisam se familiarizar com os conceitos intermediários da Teoria Eletromagnética Clássica na forma diferencial. Na intenção de resolver estes problemas, foi desenvolvido o presente material didático que faz uma breve revisão do Eletromagnetismo Clássico e da Mecânica Quântica, deduzindo respectivamente a Equação de Laplace para o Potencial Eletrostático e a Equação de Helmholtz para a parte espacial da Função de Onda. A partir destas equações, se realiza uma Separação de Variáveis. Após algumas considerações, se encontra a Equação de Legendre. É apresentado, então, o Método de Frobenius para solução de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares com Coeficientes Polinomiais Singulares, utilizado para solucionar a Equação de Legendre retornando uma solução em série de potências. Por fim, são apresentadas a Forma Canônica de Liouville e a Fórmula Generalizada de Rodrigues, que, quando combinadas à Equação de Legendre, retornam uma série de potências equivalente à encontrada pelo Método de Frobenius, demonstrando assim a Fórmula de Rodrigues para os Polinômios de Legendre que é apresentada comumente pelos livros didáticos.