Existência local de soluções para um problema parabólico semilinear em espaços de Lebesgue

Abstract

Consideramos o estudo da equação de calor semilinear escalar ut − ∆u = f(u), onde f : [0,∞) −→ [0,∞) é uma função contínua e não decrescente, mas não precisa ser convexo nem verifique qualquer condição do tipo lipschitz. Caracterizamos completamente as funções f para as quais a equação tem uma solução local limitada no espa ̧o L q (Ω) para

toda condição inicial não negativa u0 ∈ L q (Ω), quando Ω ⊂ Rd

é um domínio limitado com condições de frontera de Dirichlet. Para q ∈ (1, ∞) isso é verdadeiro se, e somente se, lim sups→∞ s −(1+2q/d) f(s) < ∞; e para q = 1 se e somente se R ∞ 1 s −(1+2/d)F(s)ds < ∞,

onde F(s) = sup 1≤t≤s f(t)/t. Isso mostra pela primeira vez a importância da não linearidade do

modelo clasico f(u) = u

1+2q/d é verdadeiramente o “caso limite” quando q ∈ (1,∞), mas não é verdade quando assumimos o valor q = 1 . Os mesmos resultados de caracterização para o caso limitado são válidos para a equação colocada em todo o espaço Rd , sem a condição de contorno de Dirichlet, assumindo a condição adicional lim sups→0 f(s)/s < ∞.