Alguns resultados do laplaciano fracionário e funções s-harmônicas

Abstract

Neste trabalho, estudamos alguns resultados de difusão não local usando o operador laplaciano fracionário. Começamos motivando o estudo da difusão em matemática explicando brevemente a modelagem desses problemas e a necessidade do estudo da difusão não local. Para isso apresentamos o operador laplaciano fracionário (operador de difusão não local) usando duas versões: uma com transformada de Fourier, e outra abordagem por semigrupos. Estudamos algumas das desigualdades estruturais principais que se tem para o laplaciano, como a Desigualdade de Sobolev Fracionária e a Desigualdade de Harnack. Mostramos alguns exemplos de funções s-harmônicas e apresentamos uma função s-harmônica com laplaciano fracionário constante na bola. Definimos os espaços fracionários de Sobolev e apresentamos algumas inclusões de Sobolev e provamos o princípio do máximo. Será mostrado um resultado de densidade que diz que toda função pode ser aproximada localmente por funções s-harmônicas. Analisamos o fato notável que, em muitas ocasiões, operadores não-locais podem ser equivalentemente representados como operadores locais em uma dimensão a mais. Finalmente, apresentamos duas aplicações do laplaciano fracionário a dois modelos físicos, o modelo de ondas de água e o modelo Peierls-Nabarro relacionados a luxações de cristal, e ofereceremos uma justificativa do procedimento de extensão via transformada de Fourier.