Desigualdades do tipo Caffarelli-Kohn-Nirenberg

Abstract

Considere as seguintes desigualdades estabelecidas por Caffarelli, Kohn e Nirenberg [1], [norma de uma função no espaço L^p(R^N), com peso b, é menor que uma constante C vezes a norma da função no espaço D^{1,2}(R^N) com peso a, com C=C(a,b) dependendo dos parâmetros a e b], onde N ≥ 3, − ∞ ≤ a ≤ (N − 2)/2, a ≤ b ≤ a + 1, e p = 2N/(N − 2 + 2(b − a)). Neste trabalho estudamos algumas questões fundamentais sobre essas desigualdades, como as melhores constantes de mergulho, a existência e não-existência de funções extremais e suas propriedades qualitativas. Enquanto o caso a ≥ 0 foi estudado extensivamente e uma solução completa é conhecida, pouco se sabe sobre o caso a < 0. Nossos resultados para o caso a < 0 revelam alguns novos fenômenos que estão em contraste marcante com aqueles para o caso um a ≥ 0. Finalmente, também provamos resultados de rigidez: uma variedade Riemanniana aberta e completa M com curvatura de Ricci não-negativa, de dimensão N ≥ 3, na qual desigualdades do tipo Caffarelli–Kohn-Nirenberg são satisfeitas está próxima do espaço Euclidiano ℝᴺ.