Existência de soluções para um modelo de equação de onda fortemente amortecido

Abstract

Neste trabalho, utilizando de ferramentas da Análise Funcional e da Topologia, estudamos a existência de soluções de equações de onda semilineares fortemente amortecidas, mais especificamente, tratamos sobre a existência de soluções brandas e suas propriedades de limitação, para isto, definimos inicialmente o conceito de solução branda para o nosso problema, o qual será uma função satisfazendo uma certa equação integral, assim, ao definir certos operadores em V por essa equação integral utilizamos o Teorema do ponto fixo de Banach para garantir a existência e unicidade de ponto fixo para tal operador e, consequentemente, obtemos a existência e unicidade de solução branda em LP para o nosso problema. Além disso, também estudamos resultados diversos em existência, como a existência de soluções brandas, clássicas e fortes, para tais tópicos, cabe ressaltar alguns resultados auxiliares essenciais como a generalização do Teorema do ponto fixo de Darbo que envolve medidas de não compacidade de Kuratowski que através de tal Teorema nos garante a existência de soluções brandas, também utilizamos alguns Lemas auxiliares onde nos garante que solução branda para o nosso problema, satisfazendo certas condições, implica em solução clássica ou solução forte. Em um dos nossos resultados sobre soluções clássicas ou de soluções fortes, para garantir a existência de tal solução utilizamos o Teorema de Schauder-Tychonoff, também cabe ressaltar o Teorema de Riesz-Weyl-Kolmogorov que estabelece critérios para caracterizar subconjuntos compactos de LP, o qual será fundamental para a aplicação do Teorema de Schauder-Tychonoff. E, por fim, concluímos com algumas aplicações dos resultados estabelecidos.