Controle e estabilização da equação Korteweg-de Vries em um domínio periódico

Abstract

Em [37], Russel e Zhang mostraram que a equação de Korteweg-de Vries (KdV) em um domínio periódico, a saber, no toro (T) com um controle interno é localmente exatamente controlável e localmente exponencialmente estabilizável quando o controle age apenas em um subconjunto arbitrário não vazio do T. Neste trabalho, mostramos que o sistema é de fato globalmente exatamente controlável e globalmente exponencialmente estabilizável. Para o caso linear, estes resultados são estabelecidos usando principalmente a teoria de semigrupos. Além disso, mostramos que o sistema linear circuito fechado é globalmente exponencialmente estabilizável com uma velocidade de decaimento arbitrariamente grande. Para o caso não linear, a estabilidade exponencial global é estabelecida com o auxílio de certas propriedades de propagação de compacidade e regularidade nos espaços de Bourgain para as soluções do sistema linear associado, que são inspiradas pelas estabelecidas por Laurent em [24] para a equação de Schrödinger. Por fim, através da lei de amortecimento de Slemrod, mostramos que o sistema não linear circuito fechado resultante é globalmente exponencialmente estabilizável com uma velocidade de decaimente arbitrariamente grande.