Geradores de D-módulos em característica positiva

Abstract

Sejam R = k[x₁, ..., xd] ou R = k[[x₁, ..., xd]] um anel de polinômios ou um anel de séries de potências formais em um número finito de variáveis sobre um corpo k de característica positiva p > 0 e Dʀ|ₖ o anel de operadores diferenciais k-lineares de R. Nesta dissertação será provado que, se f é um elemento não-nulo de R, então Rf , o anel de frações obtido de R por inverter f, é gerado como um Dʀ|ₖ-módulo por ⅟f. Esse resultado é impressionante, considerando que em característica zero é falso. Será provado também um resultado análogo para uma vasta classe de anéis R e Dʀ|ₖ-módulos, com o auxílio da teoria de R[F]-módulos unitários e da Descida de Frobenius. E por último, mostraremos que os módulos de cohomologia local de um R-módulo finitamente gerado tem comprimento finito na categoria de Dʀ|ₖ-módulos, para essa vasta classe de anéis R, utilizando complexos de Čech, uma ferramenta bastante útil em álgebra homológica.