Teoria enumerativa de Pólya

Abstract

Nesta dissertação, estamos preocupados com o problema de contar objetos matemáticos levando-se em conta as suas simetrias. Dois teoremas importantes na Área de Análise Combinatória são o Lema de Burnside e o Teorema da Enumeração de Pólya. Ambos fornecem uma fórmula matemática que permite calcular o número de objetos matemáticos distintos levando-se em conta as simetrias. O primeiro destes utiliza o conceito de órbitas para contar o número de objetos matemáticos. Embora o Lema de Burnside seja conceitualmente mais simples, ele apresenta a desvantagem de ter um alto custo computacional. O Teorema de Pólya utiliza o conceito de índice de ciclos e não só reduz a quantidade de cálculos necessária como também permite a resolução de problemas mais complexos. Além disso, o conceito de índice de ciclos nos trás informação sobre cada padrão distinto, o que permite uma descrição mais completa do problema. A partir de definições básicas tomadas da Teoria dos Grupos, nós fornecemos uma apresentação da teoria que leva a demonstração do Teorema de Pólya. Concluímos com diversas aplicações desta teoria à diferentes tipos de problemas para ilustrar este conceito.