Formas normais e estabilidade de eqüilíbrios para sistemas hamiltonianos

Abstract

Nesta dissertação, fizemos um estudo detalhado das formas normais e da estabilidade de equilíbrios para sistemas Hamiltonianos autônomos e periódicos e aplicamos ao estudo da estabilidade dos pontos de libração do problema restrito dos três corpos nos casos planar circular e espacial circular. Estudamos formas normais para sistemas Hamiltonianos lineares e não-lineares. Para os lineares, consideramos um algoritmo para obter a forma normal quando os autovalores são imaginários puros, um teorema que permite obter a forma normal quando os autovalores são distintos e uma tabela que fornece formas normais para funções Hamiltonianas quadráticas. Para os não lineares, aprendemos as teorias das formas normais de Gustavson, de Birkhoff e de Lie para sistemas Hamiltonianos autônomos e periódicos e, com base nestas teorias, obtivemos a forma normal de algumas funções Hamiltonianas. Estudamos a estabilidade de equilíbrios para sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares (autônomos e periódicos) e não-lineares, além disso, adaptamos alguns teoremas para sistemas Hamiltonianos. Com base nos Teoremas de Arnold-Moser e Cabral-Meyer, estudamos a estabilidade para sistemas Hamiltonianos periódicos com um grau de liberdade e sistemas autônomos com dois. Estudamos também a estabilidade para sistemas Hamiltonianos periódicos com dois graus de liberdade e generalizamos alguns resultados para sistemas com n graus de liberdade. No último capítulo, mostramos que os três pontos de libração colineares do problema restrito dos três corpos são instáveis e analisamos em que condições temos a estabilidade dos triangulares