Dinâmica de grãos em uma superfície rugosa : modelos teóricos e simulação computacional

Abstract

Nesta dissertação nos estudamos uma classe de modelos para a dinâmica de grãos movendo-se em uma superfície rugosa sob ação da gravidade. Uma abordagem simplificada é dada ao problema, em que os grãos são tratados como partículas puntiformes (não interagentes) e a superfície rugosa possui um periódico simples do tipo escada. Uma partícula é lançada do topo da escada, com uma dada energia inicial, movendo-se subseqüentemente através de uma sucessão de saltos bálticos e colisões com a superfícies. Nas colisões entre a partícula e a superfície, adota-se uma egra de colisão" caracterizada por dois conscientes de restituição, em e et, correspondendo ao fator de amortecimento das componentes normal e tangencial da velocidade ao plano da colisão, respectivamente. O objetivo do trabalho _e estudar os possíveis regimes dinâmicos do sistema, em função dos parâmetros do modelo. Dois tipos de modelos s~ao estudados. No primeiro modelo, o movimento da partícula cessa após a partícula eventualmente parar, enquanto no segundo modelo o movimento da partícula é reiniciado de acordo com uma regra específica. No primeiro modelo, a dinâmica _e descrita em termos de um mapa tridimensional, que dá a velocidade e a posição da partícula após cada colisão. Nesse caso, o modelo é suficientemente simples para permitir uma análise teórica, através da qual se pode provar a existência de três regiões distintas no espaço de parâmetros: (i) uma região em que a velocidade da partícula permanece limitada (e nossas simulações mostram que a partícula sempre pára); (ii) uma região intermediária, onde pode coexistir órbitas que param, órbitas periódicas e movimento acelerado e (iii) uma regi~ao na qual nenhuma órbita que para existe (e nossas simulações mostram que a partícula sempre acelera). A segunda versão do modelo explora a regi~ao de movimento limitado, onde a partícula eventualmente para, mas agora nos permitimos que o movimento da partícula seja reiniciado. Neste caso, nós precisamos especificar como o movimento da partícula é reiniciado após a parada. Nós escolhemos por simplicidade que, após parar, a partícula desliza sem atrito até a borda do degrau em que parou, de onde parte para um novo salto, e assim por diante. Neste modelo, a dinâmica _e reduzida a um mapa unidimensional contínuo por partes, para o qual é possível encontrar analiticamente pontos xos e órbitas periódicas. Nós estudamos as condições de existência e estabilidade desses pontos _xos e órbitas periódicas. Os principais resultados para este modelo estão sumarizados num diagrama de fase que ilustra os possíveis regimes dinâmicos no espaço de parâmetros