Crescimento Laplaciano em duas dimensões: uma abordagem através da equação de Loewner

Abstract

Padrões complexos são frequentemente observados em diferentes fenômenos físicos, tais como, o movimento de uma interface entre dois fluidos não miscíveis, eletrodeposição, etc, onde a dinâmica da interface é controlada pelo gradiente de uma função potencial, a qual satisfaz a equação de Laplace. Recentemente, uma ferramenta importante da análise complexa, a equação de Loewner, tem sido utilizada para estudar problemas de crescimento laplaciano em duas dimensões. Em poucas palavras, a equação de Loewner é uma equação diferencial de primeira ordem para a evolução temporal da transformação conforme que leva o domínio físico , onde se dá o crescimento, em um domínio matemático que se asemelha ao domínio físico inicial (ou seja, aquele existente antes de começar o processo de crescimento). Nesta tese, primeiramente apresentamos uma dedução alternativa da equação de Loewner para dois casos considerados recentemente na literatura em que curvas simples crescem no semiplano superior ou na geometria do canal. Nosso método de obtenção da equação de Loewner é baseado na transformação de Schwarz-Christoffel entre os planos matemáticos em dois instantes de tempo infinitesimalmente próximos. Em seguida, estendemos o formalismo da equação de Loewner para estudar uma clase mais geral de problemas de crescimento, em que agora tem-se o avanço de uma interface envolvendo uma região de área crescente. Em nosso modelo de crescimento, a interface possui certos pontos especiais, chamados de cristas e vales, onde o fator de crescimento é um máximo e um mínimo local, respectivamente. A regra de crescimento do modelo é definida em termos de certas curvas poligonais que crescem no plano matemático. Para as duas geometrias de interesse, o semiplano superior e o canal, deduzimos a correspondente equação de Loewner que governa a dinâmica da interface. Vários exemplos de evolução temporal de interfaces são discutidos, tanto no caso em que se tem uma única interface, seja com uma ou várias cristas, quanto no caso de múltiplas interfaces crescendo simultaneamente. Em particular, o conhecido efeito de blindagem, onde uma das crista avança bem mais que as outras, é normalmente observado para o caso de interfaces não simétricas. Uma breve comparação qualitativa é feita entre nossos resultados e alguns padrões observados em experimento