Modelo exponencial para opções: aplicações ao índice Ibovespa

Abstract

Este trabalho foi inicialmente dividido em duas etapas: Num primeiro momento realizamos a análise estatística do índice bovespa, e em seguida estudamos o contrato de opção cujo ativo de referência é o próprio índice bovespa. Na primeira etapa, foram feitas análises das densidades de probabilidade dos retornos para diferentes escalas de tempo, gerados a partir das séries temporais do fechamento diário do índice bovespa e de cotações intradiária a cada 15 minutos também do índice bovespa. Mostramos que os retornos do índice bovespa seguem não uma distribuição gaussiana mas sim uma função exponencial. Esse tipo de comportamento é observado para retornos gerados em escalas de tempo variando de um a trinta dias, em conformidade com o resultado obtido em um recente trabalho [1]. Além disso, para retornos de alta freqüência, tais como os retornos de 15 minutos gerados a partir da cotação a cada 15 minutos do índice bovespa, notou-se que os extremos da distribuição caem mais lentamente do que uma função exponencial, o que sugere um comportamento do tipo lei de potência. Com o objetivo de caracterizar a melhor forma funcional que ajusta os dados empíricos, testamos as distribuições que decaem como uma lei de potência, tais como a distribuição de Levy e a chamada distribuição q-Gaussiana. A partir dessas distribuições, realizamos um estudo detalhado da análise empírica dos retornos de alta freqüência e indicamos qual a forma funcional que melhor ajusta as distribuições de retornos de alta-freqüência, através do método dos mínimos quadrados. Na segunda etapa, nos concentramos na análise estatística das séries históricas das cotações diárias das opções de compra sobre o índice bovespa para os anos de 2005 e 2006. Por compreender que os retornos diários são os mais relevantes para a formação dos preços dos contratos de opção, e sabendo que a distribuição de retornos diários é melhor descrita pelo modelo exponencial, nos atemos na análise desse modelo para precificação da opção do índice bovespa. Em seguida, comparamos o modelo exponencial de precificação das opções com o modelo já estabelecido, o modelo de Black-Scholes que assume que a distribuição dos retornos tem comportamento gaussiano. Para tanto, realizamos uma comparação detalhada dos preços praticados no mercado de opções com os preços gerados usando os modelos de precificação exponencial e o gaussiano. Finalmente, através do método dos mínimos quadrados, indicamos qual dos modelos melhor descreve os preços de mercado das opções para determinado intervalo de tempo antes da expiração do contrato