Estudo de método de fronteira para solução numérica da equação de Helmholtz e aplicação a bilhares quânticos

Abstract

Em dinâmica clássica, um sistema é classificado como caótico quando possui um expo- ente de Lyapunov positivo. Tal classificação quantitativa, baseada em trajetórias em um espaço de fases, não é possível em dinâmica quântica devido ao Princípio da Incerteza. É natural, então, se esperar que qualquer relação clássico-quântica seja revelada no regime semiclássico, ou seja, em estados altamente excitados de um sistema quântico fechado. Bilhares são modelos protótipos na teoria ergódica de sistemas dinâmicos e sua quantização ganhou interesse elevado nas últimas décadas. O problema quântico corresponde ao de uma partícula confinada em um poço infinito bidimensional com a mesma fronteira. Esta dissertação aborda o problema da solução numérica da equação de Schrödinger independente do tempo, que corresponde à equação de Helmholtz em um domínio planar Ω com condições de contorno de Dirichlet na fronteira Γ. Para isso, elaboramos códigos em C++, com o auxílio da biblioteca descrita em (SANDERSON; CURTIN, 2016) e (SANDERSON; CURTIN, 2018), que utilizam o método de escala introduzido por Vergini e Sarraceno. Tal método permite o cálculo eficiente de centenas de milhares de autovalores e autovetores de energia de um bilhar. Após testes comparativos com resultados exatos, realizamos estudos de propriedades estatísticas dos espectros de alguns bilhares de interesse. Especificamente, investigamos a distribuição de espaçamento entre primeiros vizinhos, a estatística ∆3, e a presença de ruído 1/ fα em estádios elípticos e triângulos irracionais, obtendo resultados consistentes com previsões da teoria de matrizes aleatórias. Em regimes em que a dinâmica clássica é fortemente mixing ou caótica, as estatísticas se aproximam daquela prevista pelo ensemble gaussiano ortogonal das matrizes aleatórias na presença de simetria de reversão temporal. Em outro limite, o de sistemas integráveis, as flutuações são do tipo Poisson. Para es- paços de fases mistos, observamos estatísticas intermediárias, como esperado. Direcionamentos possíveis para futuros trabalhos são discutidos.