O problema dos anéis em buscas aleatórias em duas dimensões

Abstract

Nesta dissertação apresentamos resultados analíticos e numéricos de um caminhante ale- atório no espaço bidimensional (2D) sujeito a condições de contorno absorventes na forma de dois anéis concêntricos que interrompem a caminhada uma vez que são tocados. O problema dos anéis representa uma espécie de abordagem de campo médio ao problema das buscas aleatórias em 2D, no sentido de que passos com tamanho superior ao diâmetro do anel ex- terno não são permitidos. No problema dos anéis, um caminhante que busca encontrar um dos anéis inicia sua caminhada na posição inicial x0 entre os dois anéis concêntricos, sendo o anel interno de raio a e o externo de raio R. Ao longo da sua trajetória, o buscador move-se até encontrar um dos anéis, com os tamanhos l dos passos sorteados de acordo com uma distribuição p(l) do tipo lei de potência com expoente α + 1, a qual corresponde à aproxi- mação para l ≫ 1 da distribuição α-estável de Lévy. O problema dos anéis mostrou-se ser importante para o estudo das buscas aleatórias em 2D quando o objetivo é estudar a relação de encontro entre o alvo mais próximo e todos os outros que estão mais distantes da posi- ção inicial do buscador. Para o problema do anéis, apresentamos resultados numéricos para o estudo de como a eficiência de busca η no limite destrutivo, o tempo médio de primeira passagem ⟨t⟩ do buscador para encontrar um dos anéis e as probabilidades de encontrar os anéis interno e externo, respectivamente Pint e Pext, são influenciados pelos parâmetros do sistema. Também apresentamos resultados analíticos para o limite destrutivo e revisitamos o problema dos anéis para o limite não-destrutivo. No regime não-destrutivo, obtemos que a maximização da eficiência é alcançada para α → 1, enquanto que para o regime destrutivo mostramos que a eficiência é maximizada no limite balístico α → 0. Foi mostrado também que, para α fixo, Pext > Pint antes do cruzamento das probabilidades e que Pext < Pint após o cruzamento. Por outro lado, para o estudo de Pint e Pext em função de x0 e R, encontramos que Pext < Pint antes do cruzamento e Pext > Pint após o cruzamento. Observamos ainda que, para x0/R fixo, ⟨t⟩ aumenta com o aumento de α, enquanto que, quando fixamos α, observamos que ⟨t⟩ aumenta à medida que x0 se afasta do anel interno. O problema dos anéis se mostrou, portanto, uma alternativa aproximada interessante de abordagem do problema das buscas aleatórias no espaço 2D livre (isto é, sem o anel externo limitante), as quais são bem mais difíceis de se investigar analiticamente.