Desenvolvimento e aplicações da transformada mimética no time scale calculus

Abstract

O cálculo é um ramo da matemática que estuda funções e suas mudanças em relação aos seus argumentos. Os argumentos de uma função pertencem a um conjunto numérico denominado domínio da função. No cálculo clássico, os domínios contínuos e discretos são tratados de forma diferente e dão origem ao cálculo diferencial e ao cálculo de diferenças finitas, respectivamente. No desenvolvimento de uma teoria unificada de cálculo contínuo e discreto, surge o Time Scale Calculus. Uma escala de tempo (ou cadeia de medidas) T é um subconjunto fechado do conjunto de números reais R. Não faz distinção entre conjuntos contínuos ou discretos, portanto, um resultado comprovado para escalas de tempo gerais funciona tanto no conjunto de números reais quanto no conjunto de Cantor, por exemplo. Se t for um elemento de T, podemos definir os operadores derivativos e integrais, tanto para frente quanto para trás. Esses operadores nos permitem conceituar equações dinâmicas em escalas de tempo arbitrárias. A peça central deste trabalho consiste no desenvolvimento de um método para deformar funções especiais de uma escala de tempo em sua análoga de outra escala de tempo, mantendo a respectiva transformada de Laplace da função original e sua análoga. O método consiste em uma transformada integral que é a Transformada Inversa de Laplace generalizada para escalas de tempo arbitrárias, que chamamos de Transformada Mimética. Devido ao número de resultados e à robustez da Teoria do Cálculo Quântico, mostramos que muitos resultados obtidos pela Transformada Mimética são consistentes com a literatura padrão. Por exemplo, a forma de muitas funções especiais no h-calculus e no q-calculus são obtidas pela Transformada Mimética de seu análogo contínuo. Além disso, mostramos que a Transformada Mimética também pode deformar equações dinâmicas inteiras em seu análogo em diferentes domínios, e também desenvolvemos a base para aplicações em processos epidêmicos e modelos de crescimento.