Mapas tangente-Chebyshev sobre corpos finitos : contribuições teóricas e cenários de aplicação

Abstract

O estudo de mapas definidos sobre corpos finitos tem despertado grande interesse da comunidade científica interessada tanto em aspectos teóricos, quanto em cenários de aplicação. Existem, em particular, diversas famílias de mapas polinomiais e racionais, cuja utilidade em criptografia e em códigos corretores de erros, por exemplo, tem sido demonstrada. Nesse contexto, o presente trabalho possui como ponto de partida os recém-introduzidos mapas racionais do tipo tangente-Chebyshev, cuja definição, que se assemelha à dos bem conhecidos polinômios de Chebyshev do primeiro tipo, emprega funções trigonométricas em corpos finitos. Como contribuições originais desta tese, são apresentadas novas propriedades desses mapas, as quais incluem seus pontos fixos, sua relação com outros mapas e sua representação por meio de grafos. Além disso, é proposta a definição de um novo tipo de mapa tangente-Chebyshev, o qual possui, de certa forma, analogia com os polinômios de Chebyshev do terceiro tipo. Também são estudadas propriedades desses últimos mapas, o que inclui seu cálculo por meio de equações de recorrência, sua relação com os mapas tangente-Chebyshev (do primeiro tipo) e a especificação de seus zeros e polos. Por fim, é investigada a possibilidade de seu uso em esquemas de criptografia de chave pública.