Dinâmica de evolução em processos com operadores de substituição

Abstract

Em nosso trabalho, estudamos um sistema de partículas interagentes com comprimento variável (SPICV) unidimensional com tempo discreto, em que cada partícula pode ter dois possíveis estados, chamados de mais e menos. Para cada passo de tempo duas transformações ocorrem: a primeira chamada de flip transforma qualquer menos em mais com probabilidade β independentemente do que ocorre nas outras posições; a segunda é chamada murder, sob sua ação sempre que um mais é vizinho esquerdo de um menos, este mais desaparece com probabilidade α, independentemente do que ocorre nas outras posições. Mostramos que para esse processo há um tipo de transição de fase de primeira ordem. E também, que o espaço de parâmetros pβ, αq exibe uma região para a qual o processo é não ergódico e outra para a qual o processo é ergódico. Apresentamos condições para que nosso processo Flip-Murder, começando em uma medida de probabilidade uniforme, sempre convirja para a configuração todos mais. Com o objetivo de encontrar uma curva ótima que separa as regiões de ergodicidade e não ergodicidade, fizemos um estudo por meio de uma Aproximação de Campo Médio e também um estudo computacional por meio de simulação de Monte Carlo. Estudamos também um outro SPICV unidimensional com tempo discreto, em que cada partícula pode estar nos estados mais e menos e para cada passo de tempo duas transformações ocorrem: a primeira chamada de flip transforma qualquer menos em mais com probabilidade β; a segunda, chamada aniquilação é imparcial, sob sua ação sempre que um mais é vizinho esquerdo de um menos, ambos desaparecem com probabilidade α, independentemente do que ocorre nas outras posições. Este processo foi proposto por Toom (2004). Em um dos resultados trazidos para esse processo, ele mostra no espaço de parâmetros, pα, βq, a existência de duas regiões, uma de não ergodicidade e outra de ergodicidade do processo. Em nosso trabalho, ampliamos a região de não ergodicidade. Provamos para uma dada classe de distribuições iniciais, chamadas de arquipélagos de menos, que o processo Flip-Aniquilação sempre convergirá em distribuição para a medida concentrada na configuração em que todos os estados são mais. Além disso, obtivemos um limite superior para o tempo médio dessa convergência. Por fim, sempre que tomamos uma distribuição inicial desaa classe, descrevemos o limite superior do número médio de menos. Mostramos que esses limites superiores são funções da distribuição inicial.