Alguns resultados de controle para modelos parabólicos: controle insensibilizante e controlabilidade uniforme

Abstract

O objetivo desta tese é apresentar alguns resultados recentes em teoria de controle para alguns problemas formulados por equações diferenciais parciais (EDPs). Inicialmente, estudaremos um problema de controle insensibilizante para uma equação do tipo Ginzburg-Landau com não linearidade cúbica. Neste tipo de problema, buscamos controles que tornem um dado funcional de energia insensível para pequenas alterações do dado inicial. É importante mencionar que Zhang M. e Liu X. (2014) provaram resultados de mesma natureza considerando funcionais energia que dependem apenas das soluções da equação não linear de Ginzburg-Landau. A novidade aqui é que estudaremos este problema considerando funcionais energia que dependem do gradiente das soluções, trazendo novas dificuldades do ponto de vista técnico. Em um segundo problema, tratamos da controlabilidade nula uniforme para uma família de sistemas parabólicos lineares com rápida difusão, tendo em sua estrutura termos de acoplamento de ordem zero ou um. Em tais sistemas, uma das equações se degeneram em uma equação elíptica quando o parâmetro de difusão converge a zero. É importante mencionar que Chaves-Silva et al. (2014) provaram resultados similares considerando apenas acoplamentos de ordem zero. Nosso objetivo é encontrar controles que sejam uniformemente limitados com respeito a esse parâmetro. As ferramentas principais para obtermos esses resultados propostos serão estimativas de Carleman. Utilizando estas estimativas, conseguiremos obter desigualdade de observabilidade adequadas que nos permitirão a construção de tais controles.