Ideais fortemente irredutíveis sobre anéis comutativos com unidade

Abstract

Neste trabalho apresentamos as propriedades básicas dos ideais fortemente irredutíveis sobre anéis comutativos com unidade. Apresentamos também a relação entre ideais irredutíveis, ideais fortemente irredutíveis e ideais primários. Estudamos anéis aritméticos e a relação de ordem que os ideais destes anéis devem satisfazer ao serem estendidos em localizações no anel de frações para ideais primos. Caracterizaremos os ideais fortemente irredutíveis em anéis aritméticos, domínios fatoriais e anéis noetherianos, sendo este último caso para ideais não primos. Demonstramos a importância das hipóteses para cada tipo de anel e/ou ideal por meio de contraexemplos, deste modo explorando vários tipos de particularidades que podem surgir das definições abordadas. Destaque especial para o resultado que garante que, em um anel aritmético, todo ideal fortemente irredutível possui radical primo, e para nossa construção de um ideal fortemente irredutível cujo radical não é primo (feita em um anel não-aritmético), onde fazemos uso da ferramenta de idealização de módulos abordada nas noções iniciais desta dissertação.