Análise assintótica e qualitativa de equações de evolução e aplicações a modelos físicos

Abstract

Utilizando ferramentas de Análise Funcional e Topologia, estudamos propriedades de periodicidade assintótica de soluções brandas para certas equações de evolução. Mais especificamente, desenvolvemos uma teoria de existência e unicidade de soluções brandas pseudo S-assintoticamente periódicas para certas equações de evolução hiperbólicas, como também, para uma versão abstrata da equação de onda amortecida, a qual modela as vibrações de estruturas flexíveis que possuem material de amortecimento interno e força externa. O problema de periodicidade assintótica é hoje um dos assuntos mais ativos na teoria de comportamento de solução para equações diferenciais. Observamos que os sistemas concretos normalmente possuem variações internas ou são submetidos a perturbações externas que não são periódicas. Em muitas situações reais, podemos supor que estas perturbações são aproximadamente periódicas em um sentido amplo. Surgiu recentemente a noção de periodicidade S-assintótica, que é uma generalização da clássica periodicidade assintótica. Esta nova noção tem interessantes aplicações em vários ramos das equações diferenciais, e isso tem motivado considerável interesse no tópico. Em adição, um novo espaço de funções S-assintoticamente periódicas foi introduzido,ele é chamado o espaço das unções pseudo S-assintoticamente periódicas. A metodologia desenvolvida neste trabalho será extremamente útil para modelos físicos concretos. Para exibir a aplicabilidade de nossos métodos, mostramos aplicações concretas de nossos métodos a estruturas flexíveis, problemas do calor, equações fracionárias e viscoelasticidade. Além disso, devido a sua importância real, damos uma atenção especial à teoria de viscoelasticidade. Neste caso, estudamos a existência, unicidade, regularidade, possível continuação para um intervalo de existência maximal e critério de explosão de soluções brandas locais de uma família de equações de Volterra provenientes da teoria viscoelástica.