Um mapa discreto unidimensional para o sistema de Rössler

Abstract

Centros de periodicidade e caos (CPCs) s˜ao pontos que podem aparecer quando projetamos certo expoente de Lyapunov λ em um plano de parˆametros de um sistema dinˆamico dissipativo. Espirais de solu¸c˜oes peri´odicas (λ < 0) e ca´oticas (λ > 0) circulam alternadamente um CPC, como aquele no ter¸co inferior direito na figura da folha de rosto. Nesta disserta¸c˜ao foi desenvolvido inicialmente um programa para o c´alculo num´erico do espectro de Lyapunov de um sistema dinˆamico tridimensional (3D) gen´erico. Em seguida, CPCs foram procurados e achados nas solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de R¨ossler, que possuem trˆes parˆametros, a, b, e c. Em particular, para b = bc = 0.17872, o CPC foi encontrado no plano a×c com coordenadas a = ac = 0.17694 e c = cc = 10.5706. Fixando a = ac e tomando c como um parˆametro de controle no intervalo 3 < c < cc, uma sequˆencia de dobramentos de per´ıodo seguida por uma sequˆencia de janelas de adi¸c˜ao de per´ıodo dentro da regi˜ao ca´otica. Ajustes por fun¸c˜oes simples de mapas de retorno de m´aximos locais em uma das vari´aveis dinˆamicas do sistema de R¨ossler permitiram a elabora¸c˜ao de um mapa discreto unidimensional Mr(x) no intervalo unit´ario, o qual faz a m´ımica sin´optica da dinˆamica do fluxo. A raz˜ao de convergˆencia para a sequˆencia de adi¸c˜ao de per´ıodo foi estimada dos ciclos superest´aveis do mapa como um valor pouco acima de 1.7, em bom acordo com o que se obt´em do sistema de R¨ossler. Uma f´ormula para a medida invariante foi obtida de um ajuste para a distribui¸c˜ao das iteradas em regime erg´odico. O correspondente expoente de Lyapunov, 0.597, est´a em bom acordo com 0.588, valor obtido da m´edia discreta de ln|Mr(xi)|.