Teoria BKK e a solução do sexto problema de smale no caso N=4

Abstract

O problema de finitude para equilíbrios relativos de n-corpos foi proposto por J. Chazy e A. Wintner, e foi listado por Smale como problema 6 em sua lista de problemas matemáticos para este século. Este problema foi resolvido para o caso n = 4, por Richard Moeckel e Marshal Hampton, que obtiveram o seguinte resultado: Se as massas são positivas, então existe somente um número finito de classes de equivalência dos equilíbrios relativos para o problema Newtoniano dos quatro corpos. Para obter esse resultado, foram usadas algumas ideias de geometria algébrica que fornecem critérios testáveis para determinar se o número de soluções de um dado sistema de equações polinomiais é finito. Tais critérios são de um tipo que podem ser testados computacionalmente com exatidão. Para isso é usada a teoria BKK, que relaciona equações polinomiais com polítopos de Newton e com um invariante geométrico dos polítopos chamado volume misto que dá um limite superior para o número de soluções do sistema. Para equilíbrios relativos existem dois conjuntos de equações que são polinômios cujas variáveis são as distâncias mútuas entre os corpos e os coeficientes são as massas, essas equações são conhecidas como equações de Albouy-Chenciner e equações de Dziobek. A análise dessas equações através da teoria BKK leva ao resultado de finitude, usando o teorema de Bernstein obtêm-se que o número de equilíbrios relativos é no máximo 8472