Equação da onda com condições de Wentzell: a hard problem

Abstract

Esta dissertação investiga o comportamento assintótico das soluções de uma equação da onda definida em um domínio limitado Ω ⊂ Rn (n ≥ 2) com fronteira regular, sujeita a condições de fronteira dinâmicas do tipo Wentzell e amortecimento dissipativo atuando exclusivamente na fronteira. A ausência de mecanismos de dissipação no interior do domínio traz uma complicação para estabilização deste sistema, onde métodos clássicos de decaimento exponencial uniforme não são diretamente aplicáveis. Utilizando a teoria de semigrupos lineares, estabelecemos a boa colocação do problema, provando a existência e unicidade de soluções fortes e fracas via Teorema de Lumer-Phillips. A análise da estabilidade assintótica é conduzida através do Método do Domínio da Frequência. Demonstramos primeiramente que o espectro do operador associado é puramente pontual e que não existem autovalores sobre o eixo imaginário, sob condições geométricas adequadas. Em seguida, obtemos uma estimativa polinomial para o crescimento do operador resolvente ao longo do eixo imaginário. Como resultado principal, aplicando o Teorema de Borichev-Tomilov, provamos que a energia do sistema decai polinomialmente com a taxa t−4/5 para dados iniciais pertencentes ao domínio do operador gerador.