O Teorema de Leray

Abstract

Este trabalho tem como objetivo apresentar e demonstrar o Teorema de Leray, um resultado fundamental da teoria matemática das Equações de Navier–Stokes, que garante a existência global de soluções fracas para o problema de Cauchy associado a fluidos viscosos incompressíveis no espaço tridimensional. Inicialmente, é realizado um panorama histórico e conceitual da dinâmica dos fluidos, situando as equações de Navier–Stokes no contexto da mecânica dos meios contínuos e do Problema do Milênio proposto pelo Clay Mathematics Institute. Em seguida, são apresentados os principais resultados preliminares necessários ao desenvolvimento do trabalho, incluindo noções de análise funcional, transformada de Fourier e uma formulação dos espaços de Sobolev baseada em métodos espectrais. A partir dessas ferramentas, discute-se a formulação matemática da equação de Navier–Stokes, destacando propriedades de energia e o papel do projetor de Leray. Por fim, é apresentada de forma detalhada a demonstração do Teorema de Leray, enfatizando a construção de soluções fracas e os argumentos de compacidade envolvidos. Além de contribuir para a formação acadêmica do autor, o trabalho busca estabelecer uma ponte entre conteúdos clássicos da graduação e temas avançados da análise matemática, servindo como material introdutório para estudantes e professores interessados na teoria das equações diferenciais parciais e na dinâmica de fluidos.