Processos autoregressivos de segunda ordem com distribuições marginais Lindley e Gama-Lindley

Abstract

Na literatura, proposta de novas distribuições busca desenvolver modelos probabilísticos mais flexíveis tendo como uma das finalidades melhorar o ajuste a conjuntos de dados reais. Com isso, consegue-se uma abordagem mais precisa ao estudar fenômenos complexos, além de facilitar a análise dos parâmetros de um modelo. Já no contexto de séries temporais, pode-se fazer estudos em diversas áreas como, por exemplo, prever séries temporais financeiras, analisar

padrões de taxas de juros e modelagem climática. Isso é feito ao obter modelos que identifi- cam a dependência entre os valores passados e valores atuais de uma série, podendo, assim,

fazer previsões. No entanto, existem poucos trabalhos desenvolvidos que utilizam distribuições atreladas aos modelos autorregressivos não condicionais, principalmente de segunda ordem. Acredita-se que isso ocorra devido à dificuldade de desenvolver expressões matemáticas tão complexas quanto as dos modelos elaborados para processos de primeira ordem. Para processos autorregressivos de primeira ordem, as observações são dependentes apenas de seus valores

anteriores, o que não ocorre para processos de ordem 2, pois as análises são realizadas obser- vando tantos os valores anteriores quanto os anteriores ao anterior, demandando métodos mais

complexos. Contudo, pensando na lacuna existente na literatura quanto aos processos autor- regressivos de segunda ordem, dois novos modelos autorregressivos com distribuição marginal

Lindley e Gama-Lindley foram propostos. Por meio de uma série temporal de ordem 2, AR(2), considerou-se, primeiramente, os dois parâmetros autorregressivos iguais. Essa condição foi chamada de Caso 1. Após isso, selecionou-se a distribuição Lindley e Gama-Lindley para a saída de cada processo, com o propósito de determinar a distribuição do erro. Os modelos apresentados foram chamados de LAR1(2) e GLAR1(2). Considerando a região de estabilidade para cada um deles, a distribuição da inovação de ambos modelos corresponde a uma mistura de duas distribuições exponenciais com parâmetros diferentes e uma Gama com parâmetros (2, λ). Ambos modelos autorregressivos de ordem 2 foram introduzidos, apresentando suas propriedades, tais como as funções de autocorrelação e autocorrelação parcial, equação de

previsão, densidade espectral, esperança e variância condicional. Para verificar suas propri- edades assintóticas, utilizou-se os métodos de estimação Yule-Walker e mínimos quadrados

condicionais (MQC), através de simulação de Monte Carlo. Afim de verificar a eficiência dos modelos, aplicou-se a dois conjuntos de dados reais e, por predição, os dois modelos tiveram um bom ajuste, além dos resíduos de cada um possuírem características de um ruído branco. Após construída toda a estrutura para o caso particular, Caso 1, generalizou-se os modelos

para o caso geral, Caso 2, em que os parâmetros autorregressivos são diferentes. Dessa forma, considerando a região de estabilidade para cada modelo, a distribuição de inovação para o modelo LAR2(2), corresponde a uma mistura de distribuições exponencial, com parâmetro λ, Gama com parâmetro (2, λ) e três exponenciais com parâmetros (φ1), (φ2) e (φ3) que representam o oposto das raízes de um polinômio de grau 3, e dependem dos parâmetros do processo e da distribuição Lindley. De maneira similar, a distribuição de inovação para o modelo GLAR2(2) é uma mistura de distribuições exponencial, com parâmetro λ, Gama com parâmetro (2, λ) e três exponenciais com parâmetros (φ1), (φ2) e (φ3) que representam o oposto das raízes de um polinômio de terceiro grau, que é função dos parâmetros do processo e da distribuição Gama-Lindley. Conforme feitas para o Caso 1, as simulações também foram realizadas utilizando os métodos Yule-Walker e MQC por meio de simulação de Monte Carlo. Também aplicou-se os modelos a conjuntos de dados reais confirmando um bom ajuste, além do resíduo não possuir dependência. Por fim, os modelos propostos foram comparados com outros na literatura, de modo que os modelos LAR1(2) e LAR2(2), mostraram ser um bons competidores em relação ao modelos, EAR(2) GAR(2) e INGAR(2). Já os modelos GLAR1(2) e GLAR2(2) apresentaram melhores resultados em relação aos modelos LAR1(2), LAR2(2), EAR(2) e GAR(2) e INGAR(2). De modo geral, ambos os modelos destacaram-se como bons concorrentes aos já existentes na literatura.