Propriedades de medidas invariantes não-triviais de autômatos celulares

Abstract

Nós estudamos algumas propriedades de medidas invariantes não-triviais de uma classe de autômatos celulares, ou AC, unidimensional, incluindo a lei dos grandes números para qualquer função local no espaço configuracional {0, 1}Z. Uma configuração x é uma sequência bi-infinita ..., x?1, x0, x1,... com componentes xi 2 {0, 1}. Uma função em {0, 1}Z é dita local se depende apenas de um conjunto finito de componentes. Nossos AC s são operadores lineares contínuos P :M!M, onde M´é o conjunto das medidas normalizadas em {0, 1}Z. Toda componente i 2 Z tem dois vizinhos, ele mesmo e i + 1, e qualquer AC P da nossa classe é determinada por quatro probabilidades de transição _(0|xi, xi+1), a probabilidade de termos o estado 0 na componente i independentemente das outras componentes após a aplicação de P a uma configuração x. As outras quatro probabilidades de transição de terem 1 na mesma componente são determinadas por _(0|xi, xi+1)+_(1|xi, xi+1) _ 1. Nós assumimos que _(0|0, 0) = 1, donde a medida _0 concentrada em todos zeros ´e invariante para P e nós a chamamos de trivial. Também, assumimos que as outras três probabilidades _(0|xi, xi+1) são pequenas o suficiente e satisfazem três desigualdades, onde duas garantem a monotonicidade de P. Então P tem outra medida invariante, a qual denotamos a é dada por limn!1 Pn_1, onde _1 ´e concentrada em todos uns ; para esta medida nós provamos que as correlações entre eventos e funções locais, que estão longe entre si, decaem exponencialmente, e também provamos a lei dos grandes números