Algoritmos numéricos de matrizes aleatórias aplicados a sistemas mesoscópicos

Abstract

O ponto quântico caótico (PQC) é um sistema fundamental para o estudo do transporte quântico em sistemas mesoscópicos. Experimentalmente, é possível acoplar PQC's formando redes de diversas topologias. Neste trabalho, desenvolvemos algoritmos para a concatenação das matrizes de espalhamentos dos PQC's de uma rede de topologia arbitrária, e assim, encontramos a matriz de espalhamento efetiva do sistema. Com o formalismo de Landauer-Buttikker, relacionamos os observáveis de transporte à matriz de espalhamento do sistema. Para concatenações em série dos PQC's, usamos o método da matriz de transferência ou uma parametrização de estube. Para concatenar em paralelo, desenvolvemos uma operação algébrica que serve para matrizes de transferência ou de espalhamento. Implementamos estes algoritmos numericamente e, através da teoria de matrizes aleatórias, simulamos a estatística de contagem de carga para três sistemas físicos na aproximação de quase-partículas independentes e na presença de coerência de fase: um único PQC, uma cadeia de PQC's e um anel de quatro PQC's. Estudamos a eficiência numérica dos nossos algoritmos e mostramos que eles são mais eficientes que os baseados na abordagem hamiltoniana. Obtemos as distribuições dos cumulantes de transferência de carga (CTC's) para os três sistemas, variando alguns dos seus parâmetros: simetrias de reversibilidade temporal, número de canais de espalhamento e transparências dos contatos. Comparamos nossa simulação com resultados já conhecidos na literatura, principalmente para o regime semiclássico. Neste caso, através de métodos de inferência bayesiana, conseguimos obter com grande precisão correções devido à localização fraca e variâncias de alguns CTC's. Além disso, exploramos o limite quântico extremo, onde as distribuições dos CTC's apresentam não-analiticidades, as quais justificamos através de um argumento geométrico, achando explicitamente os valores dos CTC's onde essas nãoanaliticidades podem aparecer. Observamos algumas semelhanças entre distribuições de condutância para sistemas com diferentes parâmetros, onde os resultados sugerem uma aproximada lei de escala clássica (lei de Ohm), a qual torna estas distribuições muito próximas. Uma característica marcante das discussões dos resultados neste trabalho é a caracterização do regime de transporte através das distribuições dos CTC's