Homologia em Fractais

Abstract

Os fractais podem ser encontrado em vários lugares, desde os gerados por computador até os vistos na natureza. Por outro lado, a topologia aplicada é comumente usada para descrever e entender dados complexos. Esta dissertação visa fundir esses dois tópicos distintos para investigar superfícies fractais usando métodos e conceitos de análise de dados topológicos (TDA). Para tanto, estudamos a homologia de alguns fractais gerados por computador, a saber: fractais de Mandelbrot, Julia e Newton. Em cada um deles, calculamos múltiplas métricas em homologia persistente em função de um parâmetro de filtragem, como seus diagramas de persistência, códigos de barras, curvas de Betti e características de Euler. Tentamos procurar uma assinatura para tais fractais em comparação com não-fractais usando a metodologia da TDA. Portanto, investigamos esses fractais para diferentes parâmetros de controle que podem ter influenciado sua homologia persistente, por exemplo, quantidade de pontos, qualidade da imagem, etc. Em particular, também investigamos a transição de fase topológica desses fractais estudando os locais dos zeros da curva da característica de Euler. Encontramos diferenças entre a transição de fase das superfícies fractais quando contrastadas com não fractais, isto é, superfícies sem características autossimilar. Mais especificamente, os zeros das características de Euler ocorrem em limiares mais altos para superfícies fractais investigadas nesta dissertação. Esperamos que este trabalho possa contribuir para uma compreensão adequada dos fractais na linguagem de homologia persistente.