Uma formulação do método dos volumes finitos com estrutura de dados por aresta para a simulação de escoamentos em meios porosos

Abstract

A modelagem e a simulação de escoamentos multifásicos e multicomponentes em meios porosos heterogêneos e anisotrópicos se constitui num grande desafio de ordem matemática e numérica. Neste contexto, são de especial interesse o estudo do transporte de contaminantes em aqüíferos e a simulação de escoamentos bifásicos de óleo e água em reservatórios de petróleo. A utilização de metodologias numéricas capazes de lidar com malhas flexíveis (nãoestruturadas) pode oferecer algumas vantagens sobre as formulações baseadas em malhas estruturadas, possibilitando que poços inclinados e estruturas geológicas com características geométricas complexas, tais como, falhas selantes, canais e camadas estratificadas inclinadas, sejam modeladas naturalmente e de maneira mais acurada. Dentre os métodos numéricos que usualmente fazem uso de tais malhas, podemos citar: o método dos elementos finitos (MEF) e o método dos volumes finitos (MVF). Este último é particularmente atrativo devido às suas propriedades de conservação local e global. No presente trabalho, apresentamos uma nova formulação do método dos volumes finitos com estrutura de dados por aresta (MVFA), considerando volumes de controle construídos pelo método das medianas (median dual). Esta formulação é capaz de lidar com meios heterogêneos e anisotrópicos (tensor completo) de maneira inovadora, utilizando malhas estruturadas e não-estruturadas. É bastante conhecido na literatura que a estrutura de dados por arestas é mais eficiente em termos de economia de memória e tempo de CPU, alem disso ela permite uma implementação elegante e eficiente da formulação numérica desenvolvida. A discretização dos termos elípticos (difusivos) é realizada utilizando uma formulação não óbvia do método dos volumes finitos. Tais termos são calculados em dois laços (loops) nas arestas das malhas. Esta formulação permite que os fluxos através das faces dos volumes de controle sejam calculados adequadamente, mesmo em malhas não-ortogonais, e em meios anisotrópicos e heterogêneos, mantendo uma aproximação de segunda ordem. Para a discretização dos termos advectivos, utilizamos duas técnicas de alta ordem: um método de Difusão Numérica Artificial (DNA) e um método Total Variation Diminishing (TVD), baseado na extrapolação de variáveis, conhecido como Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws (MUSCL-TVD). Estes métodos são adaptados para utilização com malhas estruturadas e não-estruturadas, em problemas de transporte de fluidos em meios porosos. A metodologia que desenvolvemos é bastante geral, no sentido em que, tanto a discretização dos termos difusivos, quanto a discretização dos termos advectivos que caracterizam as equações de transporte em meio poroso, são feitas com base nos mesmos princípios de conservação e utilizando a mesma estrutura de dados por arestas. Toda formulação desenvolvida foi verificada numericamente através da solução de alguns problemas modelos encontrados na literatura. Sempre que possível os resultados são comparados com resultados analíticos ou outras soluções numéricas disponíveis na literatura. Os resultados obtidos no presente trabalho se compararam de maneira bastante favorável com outros resultados fornecidos por diferentes metodologias encontradas na literatura