Equações de Navier-Stokes em espaços de Besov-Morrey : um sistema fracionário acoplado e problemas com viscosidade hereditária

Abstract

Neste trabalho, estudamos as equações de Navier-Stokes em duas situações diferentes, o primeiro caso trata-se do problema fracionário em que temos o modelo de Keller-Segel acoplado com as equações de Navier-Stokes, o segundo diz respeito às equações de Navier-Stokes com viscosidade hereditária. Para o modelo acoplado provamos a existência de soluções brandas globais, com dados iniciais pequenos em espaços de Besov-Morrey críticos, e unicidade em um sentido específico. Os resultados apresentados nos permite obter soluções auto-similares desde que os dados iniciais sejam funções homogêneas com normas pequenas e considerando o caso do atraente químico sem taxa de degradação. Além disso, verificamos a estabilidade assintótica de soluções com o tempo tendendo ao infinito e obtemos uma classe de soluções assintoti- camente auto-similares. Para as equações com viscosidade hereditária usamos a estrutura dos resolventes subordinados para aplicar a mesma metodologia do caso acoplado. Da mesma forma, garantimos com isso a existência e unicidade, também em um sentido específico, de soluções brandas globais ou locais, a depender do núcleo da equação integro-diferencial, com condições iniciais pequenas em espaços de Besov-Morrey. Para as soluções globais também obtemos resultados de estabilidade sob perturbação dos dados iniciais.