Hipersuperfícies tipo-espaço máximas em variedades de Lorentz possuindo um campo de vetores tipo-luz paralelo

Abstract

Neste trabalho estudaremos hipersuperfícies tipo-espaço com curvatura média constante e, em particular, hipersuperfícies tipo-espaço máximas imersas em um espaço-tempo pp-wave satisfazendo a condição de convergência tipo-tempo (TCC). Primeiro faremos uma breve introdução ao espaço-tempo pp-wave e estabeleceremos a fórmula para o laplaciano de uma função suporte relacionado a hipesuperfície tipo-espaço neste espaço-tempo. Em seguida, mostraremos que toda hipersuperfície tipo-espaço máxima fechada (compacta sem bordo) é totalmente geodésica e em particular não há hipersuperfícies tipo-espaço fechada cuja curvatura média constante é diferente de zero. Além disso, exibiremos um exemplo de hipersuperfícies tipo-espaço máximas em espaços- tempo pp-wave. E assim, podemos apresentar resultados relacionados a curvatura gaussiana e parabolicidade que caracterizam superfícies máximas nessas variedades Lorentzianas e a partir desses resultados estabelecer sob qual hipótese as superfícies completas máximais são totalmente geodésicas. Finalmente, com base nos resuldados citados anteriormente mostraremos uma extensão para o clássico teorema de Calabi-Bernstein para superfícies máximas completas em espaço-tempo pp-wave 3-dimensional.