Existência local de soluções para alguns problemas parabólicos com dados iniciais singulares

Abstract

Consideremos o sistema parabólico ut − a∆u = f(v), vt − b∆v = g(u) em Ω × (0, T) , onde a, b > 0, f, g ∈ [0,∞) → [0,∞) são funções contínuas e não decrescentes, e Ω é um domínio limitado com fronteira ∂Ω suave ou o espaço todo R

N . Caracterizamos as funções f, g para que

o sistema tenha solução local para cada condição inicial (u0, vu) ∈ L r (Ω) × L s (Ω), u0, v0 ≥ 0, 1 ≤ r, s < ∞. Nesta direção consideramos também o problema parabólico semilinear com potencial singular ut − ∆u = | · |−γ

f(u) em Ω × (0, T) com γ > 0 e com condições de Dirichlet na fronteira. A função f : [0,∞) → [0,∞) é contínua e não decrescente, e Ω é um domínio limitado com fronteira ∂Ω suave contendo a origem ou o espaço todo R

N . Determinamos

condições para a existência e não existência de soluções para dados iniciais u0 ∈ L r (Ω), u0 ≥ 0,

com 1 ≤ r < ∞.