Processos difusivos em espaços riemannianos

Abstract

O objetivo principal deste trabalho é gerar uma fonte acessível de informações e ferramentas para dar suporte a elaboração de modelos envolvendo difusão em espaços Riemannianos. Trataremos difusão sob a perspectiva de um processo de Markov. Estes envolvem coeficientes de drift e de difusão, e uma função de densidade de probabilidade f(s, x,t, y) chamada de função de transição do processo de Markov, que fornece a probabilidade de encontrar uma partícula no ponto y em um tempo t, dada a posição x em um tempo s < t. Numa abordagem local de uma geometria diferencial Riemanniana, tratamos tópicos como: gradiente, divergente, laplaciano, símbolos de Levi-Civita, derivada covariante, geodésicas e transporte paralelo. Discutimos então a existência de uma geometria associada à difusão, cuja métrica é dada pelo coeficiente de difusão do processo de Markov. Apresentamos ainda conceitos que são característicos de um espaço Riemanniano, tais como conexão e curvatura, além de resultados de aproximação da função de transição de um processo de difusão que satisfaz condições específicas, utilizando como ferramenta o desvio geodésico relacionado à trajetória mais curta que une os pontos x e y. Ao final, são apresentadas informações sobre difusão em espaços de curvatura constante.