Bifurcações de equilíbrios relativos nos problemas de quatro e cinco corpos

Abstract

Nesta dissertação faremos uma exposição dos principais conceitos sobre configurações centrais e a sua relação com uma família de soluções do problema de N corpos, as soluções homográficas. Em seguida associaremos soluções da equação de configurações centrais com os extremos da função potencial restrita ao conjunto de configurações sem colisões cujo momento de inércia assume um valor constante. Para isto usaremos o teorema dos multiplicadores de Lagrange. Este método nos permite encontrar configurações centrais de três e quatro corpos. Apresentaremos resultados sobre configurações centrais côncavas e convexas de quatro corpos. Finalmente, como objetivo principal, estudaremos as bifurcações de uma família de configurações centrais côncavas de quatro corpos e as bifurcações de uma família de configurações centrais côncavas de cinco corpos. Para o caso de quatro corpos consideramos uma configuração na forma de um triângulo equilátero centrado num corpo de massa arbitrária e mostraremos que existe um único valor desta massa que torna a configuração degenerada. Encontraremos duas únicas famílias de triângulos isósceles que bifurcam da configuração inicial. Para cinco corpos, a mesma técnica é utilizada para encontrar configurações centrais que bifurcam de um quadrado centrado num corpo de massa arbitrária. Encontraremos três valores para a massa central que torna a configuração do quadrado degenerado. As únicas famílias de configurações que bifurcam são trapézios isósceles, losangos e configurações na forma de pipas. Em ambos os casos estudados as bifurcações das configurações simétricas ainda são simétricas. A unicidade das famílias encontrada é garantidas pelo teorema da função implícita. Utilizamos como ferramenta para realizar os cálculos o programa de computação algébrica MAPLE.