Transformada numérica de Fourier quaterniônica: definições e cenários de aplicação

Abstract

A contribuição central desta tese é a introdução de uma transformada numérica de Fourier quaterniônica (QFNT, do inglês quaternion Fourier number transform ), isto é, uma transformada definida sobre quatérnios cujos coeficientes se encontram num corpo finito primo. O estabelecimento de tal ferramenta preenche uma importante lacuna existente na literatura de processamento / análise de sinais, uma vez que, até então, apenas transformadas de Fourier sobre quatérnios de Hamilton haviam sido investigadas. A definição e a caracterização da QFNT requerem a derivação de diversos resultados referentes aos chamados quatérnios generalizados, como aqueles relacionados às suas ordens multiplicativas e a extensão a esse contexto de proposições associadas à trigonometria sobre corpos finitos; tais resultados, que também são introduzidos nesta tese, apoiam o desenvolvimento de propriedades da QFNT e sugerem cenários em que esta pode ser aplicável. Sobre este último ponto, o presente trabalho se volta especificamente ao processamento de imagens coloridas e demonstra, a partir de uma investigação preliminar, que a QFNT pode ser útil na uniformização de histogramas com vista à cifragem de tais imagens. Além disso, a QFNT é empregada como base de um esquema de marca d’água frágil e não-cego, em que a marca é inserida de forma “espalhada” em todos os canais de cor da imagem; os resultados obtidos demonstram que, utilizando o referido esquema, a marca pode ser inserida respeitando os limiares usuais de degradação da imagem que a recebe.