Transformadas em corpos finitos e códigos de bloco lineares: novas definições e cenários de aplicação

Abstract

O trabalho desenvolvido nesta Tese versa sobre a área de Processamento de Sinais por meio de transformadas definidas sobre corpos finitos. A principal ferramenta usada é o triângulo de Pascal definido sobre o corpo finito GF(p). Uma nova transformada baseada neste triângulo de Pascal, a transformada numérica de Pascal, é introduzida e suas propriedades são investigadas. A estrutura do triângulo de Pascal modular é explorada de forma única nesta Tese, revelando novas propriedades. Uma nova família de códigos de bloco lineares multiníveis baseada em tal transformada, os códigos de Pascal, é definida. A construção de novas transformadas definidas em corpos finitos baseadas em famílias conhecidas de códigos corretores de erros é investigada. Em particular as transformadas numéricas de Hamming e de Golay, as quais se baseiam nos respectivos códigos corretores de erros, são introduzidas. Um caso especial é considerado, a saber, a versão cíclica destas transformadas, e suas propriedades são investigadas. A estrutura de autossimilaridade da matriz do triângulo de Pascal modular é considerada, e uma aplicação das transformadas introduzidas nesta Tese, como uma ferramenta de pré-processamento para cifragem de imagens, é sugerida. Algoritmos rápidos para a computação da transformada numérica de Pascal são propostos.