Um estudo sobre operadores para deslocamento de sinais sobre grafos

Abstract

A teoria de processamento de sinais sobre grafos surgiu nos últimos anos com a proposta de generalizar o processamento clássico de sinais de tempo discreto para o caso em que o sinal é definido sobre uma estrutura irregular genérica, modelada por um grafo. Em vez do tempo discreto — um domínio unidimensional a que chamaremos regular, i. e. em que uma amostra é sempre adjacente a somente duas outras e para quaisquer duas amostras vizinhas a distância entre elas é a mesma — os sinais em questão são definidos sobre grafos e, por isso, podem ter a distância e as relações entre suas amostras variando de ponto a ponto. Um exemplo seria um sinal de temperatura obtido por uma rede de sensores, em topologia mesh: a distância entre sensores é diversa e o número de nós adjacentes a um sensor não é constante ao longo da rede. A generalização buscada no desenvolvimento desta teoria encontra, frequentemente, dificuldades mesmo em face a conceitos basilares, como o de deslocamento unitário de um sinal. Se uma amostra é adjacente a outras 3, como definir o atraso unitário? Neste contexto, o presente trabalho investiga os principais operadores de deslocamento de sinais sobre grafos na literatura e, em seguida, define um operador de deslocamento fracionário, estudando seu significado e possíveis aplicações. Para o caso de grafos em anel, que modelam o tempo discreto, o operador proposto é comparado com o filtro ideal de deslocamento não-inteiro, e uma rápida convergência é observada numericamente. Por fim, o operador proposto é utilizado para construir um método de interpolação de imagens, que apresentou eficácia satisfatória e comparável às principais técnicas computacionais empregadas para este fim, embora o algoritmo tenha apresentado um tempo de execução muito acima da média.