Um estudo qualitativo das estruturas flexíveis

Abstract

Uma equação diferencial é uma fórmula matemática que relaciona uma função com suas derivadas. Na matemática aplicada, as funções geralmente representam quantidades físicas, os derivados representam suas proporções de mudança e a equação define a relação entre elas. Como essas relações são muito comuns, as equações diferenciais desempenham um papel importante em várias disciplinas, incluindo engenharia, física, química, economia e biologia. Em matemática pura, as equações diferenciais são estudadas a partir de diferentes perspectivas, mais sobre o conjunto de soluções das funções que satisfazem a equação. Somente as equações diferenciais mais simples podem ser resolvidas por fórmulas explícitas; no entanto, algumas propriedades das soluções de uma determinada equação diferencial podem ser determinadas sem encontrar a sua forma exata. Se a solução exata não puder ser encontrada, ela pode ser obtida numericamente por uma aproximação usando computadores. A teoria dos sistemas dinâmicos enfatiza a análise qualitativa dos sistemas descritos por equações diferenciais, enquanto muitos métodos numéricos foram desenvolvidos para determinar soluções com um certo grau de precisão. As equações diferenciais podem ser divididas em vários tipos. Além de descrever as propriedades da própria equação, as classes das equações diferenciais podem ajudar a buscar a escolha da aproximação de uma solução. É muito comum que essas distinções incluam se a equação é: Derivados Ordinários ou Parciais, Lineares ou Não-Lineares e Homogêneos ou não Homogêneos. Esta lista é muito grande; existem muitas outras propriedades e subclasses de equações diferenciais que podem ser muito úteis em contextos específicos. Utilizando ferramentas de Análise Funcional e Topologia, estudamos propriedades de limitação e periodicidade assintótica de soluções brandas para a equação que modela as vibrações de Estruturas Flexíveis u’’ + αu’’’ = βΔu + Δu’ + f que possuem material com amortecimento interno e força externa f. Provamos que o conjunto composto de soluções brandas para este problema é compacto e conexo no espaço de funções contínuas. Esta propriedade é conhecida na literatura como propriedade de Kneser.