Análise de Fourier em grupos finitos: um estudo introdutório com aplicações

Abstract

Nesta dissertação, é feita uma apresentação da teoria básica das representações de grupos finitos com o objetivo de introduzir a transformada de Fourier em tais grupos. A teoria de representação, que é a parte introdutória deste trabalho, é feita por meio de uma abordagem elementar, através do estudo dos homomorfismos de um grupo G em um grupo do tipo GL(V), onde GL(V) denota o grupo dos operadores invertíveis definidos em um espaço vetorial V. Apesar do caráter elementar, são apresentados resultados importantes, como o teorema de Maschke, o lema de Schur, as relações de ortogonalidade de Schur e um pouco da teoria dos caráteres. Em seguida, definimos a transformada como um isomorfismo da álgebra do grupo numa álgebra dada pelo produto direto de álgebras de matrizes, bem como estudamos suas propriedades básicas. Ao longo e ao final da dissertação são feitas algumas aplicações: teoria de grafos, anéis inteiros de grupos, centro da álgebra do grupo e caminhadas aleatórias em grupos finitos.