Dinâmica de vórtices pontuais sobre um elipsóide triaxial

Abstract

Objeto de interesse em diversas áreas do conhecimento, como matemática, física, geofísica, meteorologia, dentre outras, e com aplicações que vão desde a circulação atmosférica e oceânica até a superfluidez, a dinâmica de vórtices tem sido tratada há mais de um século, predominantemente, na esfera e, mais recentemente, sobre superfícies com curvatura constante ou de revolução. Neste trabalho, apresenta-se um dos primeiros estudos sobre a dinâmica de vórtices numa superfície com curvatura não constante e sem simetria de revolução. Concentramo-nos especialmente no problema de um par de vórtices opostos no elipsoide com os três eixos distintos (triaxial). Com este proposito, iniciamos com um rápido apanhado da geometria diferencial dos sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais. As coordenadas das quadricas confocais (Jacobi) para o elipsoide e as esfero-cônicas para a esfera são revisadas. O sistema hamiltoniano que governa a dinâmica do par de vórtices é estudado através das equações de Hally, escritas em coordenadas isotérmicas obtidas por Jacobi. Usando estas coordenadas (não globais) realizamos simulações numéricas e nossa metodologia é validada verificando a conjectura de Kimura de que o dipolo se move ao longo de uma geodésica. As equações de movimento foram obtidas em termos de funções elípticas e integradas numericamente com uma precisão considerável. Finalmente, construímos uma aplicação conforme global do elipsoide triaxial para a esfera, combinando as coordenadas confocais no elipsoide com as coordenadas esfero-cônicos na esfera. Escrevemos as equações de Hally globalmente através da projeção estereográfica. Secções de Poincaré para o problema do par de vórtices opostos no elipsoide triaxial são obtidas com várias relações de energia e dos eixos. Os resultados indicam que o sistema não é integrável.