O Teorema da Dimensão das fibras e pontos não fechados

Abstract

O Teorema da Dimensão das Fibras para variedades projetivas ´e uma ferramenta muito importante da Geometria Algébrica e tem inúmeras aplicações. Por exemplo, pode-se utilizá-lo para calcular a dimensão do espaço das matrizes cujo posto ´e menor do que ou igual a k ou a dimensão da variedade de incidência Τ={(π,ι,ρ) l ρ ∈ ι ⊂ π}, onde π é um plano, ι é uma reta e ρ é um ponto em algum espaço projetivo. Neste trabalho, apresentamos a versão do Teorema da Dimensão das Fibras para esquemas afins. Esta versão ´e particularmente interessante devido a existência de pontos não-fechados. A estratégia utilizada para provar este resultado é a sugerida pelo exercício 3.22 da página 95 em (1) e também utilizada em (2). Inicialmente, estudamos o conceito de Espaço Topológico Noetheriano e apresentamos duas classes básicas e importantes em Geometria Algébrica: Variedades Afins e Espectros de Anéis; consideramos a noção de dimensão a partir dos pontos de vista algébrico - dimensão de Krull de um anel comutativo e grau de transcendência de uma extensão de corpos - e topológico e provamos que se considerarmos uma K-álgebra finitamente gerada, os três conceitos de dimensão apresentados coincidem. Em seguida, definimos pré-feixe, feixe e morfismos entre feixes e exibimos vários exemplos; apresentamos os esquemas afins, os morfismos entre esquemas afins e a equivalência entre a categoria dos anéis e a categoria dos esquemas afins, e demonstramos o nosso resultado principal. Por fim, exibimos duas aplicações relevantes e diversas do Teorema da Dimensão das Fibras: a contagem das retas numa superfície cúbica no espaço projetivo tridimensional complexo (um problema da Geometria Algébrica) e a finitude genérica das configurações de Dziobek (um problema da Mecânica Celeste).